Géométries élémentaires. Tome1

Le tome 1 de cet ouvrage comprend les 9 premiers chapitres d'un cours sur les géométries élémentaires. Par géométries élémentaires on entend des géométries qui peuvent se traiter au moyen d'outils essentiellement algébriques et pas trop sophistiqués d'une part, et qui présentent une grande régularité d'autre part. Ce livre contient un traitement de la géométrie euclidienne (plane et dans l'espace), de la géométrie affine, de la géométrie sphérique, de la droite projective réelle, du plan hyperbolique (modèle de Beltrami) et un aperçu sur les espaces géométriques. Une place importante est accordée aux commentaires, au sens, aux figures, à la discussion des définitions, aux preuves intuitives et aux théorèmes structurels. L'accent est mis sur les théorèmes fondamentaux qui sont «les mêmes» pour les trois géométries planes métriques (euclidienne, sphérique et hyperbolique). Le but est de donner une base mathématique motivée à une véritable intuition géométrique. Ouvrage publié avec le soutien de l'Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (IREM) de Franche-Comté.

Géométries élémentaires (tome 1)

Henri Lombardi

Introduction générale

a - Remarques générales sur ce cours

b - Remarques diverses

c - Groupe opérant sur un ensemble, sur un groupe

1 - Géométrie euclidienne plane. Le plan euclidien comme espace métrique.

a - Introduction

b - Le modèle standard de plan euclidien et son groupe d'isométries

c - La géométrie d'un plan euclidien arbitraire

2 - Géométrie affine plane réelle Introduction

a - Qu'est-ce qui reste dans un plan euclidien quand on a perdu l'unité de longueur ? 

b - Applications et transformations affines

c - Propositions de définitions pour «un plan réel affine»

d - Les implicites géométriques du calcul vectoriel

e - Aires et déterminants

f - Théorèmes structurels

3 - Géométrie affine de dimension n sur un corps commutatif

Introduction 

a - Généralités 

b - Calculs dans les espaces affines

c - Le groupe affine

d - Espaces affines réels et complexes

e - Relations d'incidence dans l'espace affine en dimension 3 :géométrie affine synthétique

4 - Géométrie euclidienne dans l'espace (de dimension 3)

Introduction 

a - Produit scalaire, distance, orthogonalité 

b - Isométries de l'espace euclidien

c - Similitudes, transformations affines 

d - Théorèmes structurels

e - Généralisations 

5 - Géométrie métrique de la sphère Introduction 

a - Propriétés élémentaires de la distance

b - Les isométries de la sphère 

6 - Espaces géométriques

Introduction

7 - Droite projective réelle, homographies 

a - Introduction.Perspective d'une droite sur une autre droite 

b - Droites projectives, homographies, birapport

c - Le groupe des homographies d'une droite projective 

d - Intersection de deux faisceaux de droites en homographie dans

 e - Théorèmes structurels

8 - Introduction au plan hyperbolique et à ses modèles

Introduction 

a - Quelques propriétés intuitives inévitables du plan hyperbolique

b - Droites euclidiennes, elliptiques et hyperboliques 

9 - Le plan hyperbolique via le modèle de Beltrami

Introduction 

a - Le modèle de Beltrami : déplacements et antidéplacements du plan hyperbolique.

b -Structure projective du plan hyperbolique

c - Le plan hyperbolique comme espace géométrique

d - Le plan hyperbolique comme espace géométrique