Les probabilités et la statistique au lycée

Récemment, en France, l’enseignement des probabilités et de la statistique a connu de grands bouleversements. Les contenus à enseigner se sont enrichis tout en changeant de nature, introduisant des approches différentes. Former les enseignants à cet enseignement est devenu un enjeu crucial. Cet ouvrage donne des clés pour former à enseigner dans le domaine de l’aléatoire en s’appuyant sur l’histoire des mathématiques, la didactique des mathématiques et les mathématiques elles-mêmes. Ces éléments sont présentés puis articulés dans un scénario de formation pour enseignants de lycée, directement inspiré de l’exemple phare d’un stage de l’IREM de Paris qui peut être adapté sans modération.

Chapitre I. Les probabilités dans l’enseignement secondaire, d’hier à demain

Bernard Parzysz

1. Introduction

2. Des probabilités et de la statistique, pour faire quoi ?

3. Les probabilités dans l’enseignement secondaire aujourd’hui en France

3.1. Expérience aléatoire

3.2. Deux points de vue sur la notion de probabilité

3.2.1 L’approche cardinaliste

3.2.2 L’approche fréquentiste

3.3. Modélisation

3.4. Arbre et conditionnement

3.5. Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance

3.6. Théorème de de Moivre-Laplace

4. Quelques jalons de l’histoire des probabilités, en rapport avec les programmes

4.1. Le problème des partis

4.2. Galilée

4.3. Pascal et Fermat

4.4. Huygens

4.5. d’Alembert

4.6. Graunt

4.7. Bernoulli

4.8. De Moivre

4.9. Buffon

4.10. Laplace

4.11. Legendre

4.12. Gauss

4.13. Kolmogorov

4.14. Conclusion de la partie 4

5. La simulation en probabilités

5.1. Qu’est-ce que simuler une expérience aléatoire ?

5.2. Pourquoi simuler ?

5.3. De l’expérience réelle à sa simulation en classe : une absence de transparence à expliciter

5.4. Un type de tâche emblématique dans le cycle terminal : une complexité à ne pas sous-estimer

5.5. Conclusion

Annexe du chapitre I : le manuel Transmath Première S. Ed. Nathan 2011, p. 303

Chapitre II. Un panorama des études didactiques sur les probabilités

Laurent Vivier

1. Introduction

2. Les biais – difficultés d’interprétation de situations aléatoires

2. 1 Les principaux biais

2.2 Quelques interventions et effets de ces biais sur les élèves

2.2.1 Effets d’un apport d’informations dans un tirage de jetons dans une urne

2.2.2 Identification de modèles probabilistes sur une situation de lancer de deux dés

2.2.3 Effets d’un enseignement expérimental

2.3 Le rôle d’un modèle équiprobable sous-jacent

3. Présentation de quelques situations

3.1 La bouteille de Brousseau

3.1.1 La situation originale

3.1.2 Une utilisation au collège

3.1.3 Une utilisation en formation

3.1.4 Une utilisation en recherche : la dualité fréquentiste/bayésienne

3.2 Croix ou pile

3.3 La ruine du joueur

4. Influence des formulations

4.1 Influence de la question

4.2 Influence de l’énoncé

5. La formation des enseignants

5.1 Le sens des formules statistiques

5.2 Deux situations pour débattre en formation

5.2.1 La première situation de formation

5.2.2 La deuxième situation de formation

5.3 Les statistiques inférentielles

6. Conclusion

Chapitre III. Complément de mathématiques pour les probabilités, vers la statistique inférentielle

Jacqueline Mac Aleese

1. Introduction

 2. Éléments de base de la théorie des probabilité

2.1 L'espace d'états ou univers.

2.2 Les événements

2.3 La probabilité

2.4 Les variables aléatoires

2.5 La notion d'indépendance

2.6 Bilan

3. Variables aléatoires à valeurs numériques

3.1 Variable aléatoire à valeurs dans un sous ensemble fini ou infini dénombrable de R

3.1.1 Loi et représentations

3.1.2 Espérance

3.1.3 Propriétés de l’espérance

3.2 Fonction de répartition d’une probabilité de R

3.2.1 Probabilité de R, tribu des boréliens

3.2.2 Fonction de répartition

3.3 Variables continues, variables à densité et interprétations géométriques

3.3.1 Les lois continues et à densité

3.3.2 Espérance

3.4 Variables aléatoires gaussiennes

3.4.1 Loi normale centrée réduite

3.4.2 Valeurs associées à la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite

3.4.3 Loi normale de moyenne μ et de variance σ²

3.4.4 Trois exercices sur la loi normale

4. Convergences et théorèmes limites

4.1 Présentation d’une situation standard et modélisation

4.2 Théorèmes limites : loi faible des grands nombres et théorème de la limite centrée

4.2.1 Loi faible des grands nombres

4.2.2 Théorème de la limite centrée

4.2.3 Liens entre les deux théorèmes

4.2.4 Théorème amélioré de la limite centrée

4.3 Mathématiques utilisées dans les preuves de ces théorèmes

4.3.1 Inégalité de Markov

4.3.2 Inégalité de Bienaymé Tchébychev

4.3.3 Pour la loi faible des grands nombres

4.3.4 Pour les théorèmes de la limite centrée

5. Des intervalles de fluctuations aux intervalles de confiance

5.1 Raisonnement statistique sur l’exemple du lancer d’une pièce de monnaie

5.2 Valeurs des bornes des intervalles de fluctuations

6. Tests d'hypothèses, aide à la décision

6.1 Élaboration d’une démarche mathématique

6.2 L’exemple de la pièce de monnaie en détail

6.2.1 Choix de la modélisation

6.2.2 Choix des observations

6.2.3 Les risques de première et de seconde espèces

6.2.4 Influence du nombre d’observations

6.2.5 Bilan

6.3 L’exemple du graphologue

6.3.1 Énoncé

6.3.2 Solution

6.4 Formalisation des savoirs en jeu dans les tests statistiques

6.4.1 Formulation des hypothèses H₁ et H₂

6.4.2 Seuil et risques

6.5 Règles de décision dans la situation de la bouteille de Brousseau : tests statistiques

6.5.1 Étapes 1 à 5

6.5.2 Étapes 6 et 7 : calcul des risques des deux espèces, observation et décision

6.5.3 Choix du risque de première espèce

7. Tests d'adéquation et tests du χ²

7.1 Problématique spécifique de l'adéquation

7.2 Exemple du dé : pipé ou équilibré ?

7.3 Test d’indépendance

8. Conclusion

Chapitre IV. Un stage de l’IREM-Paris Diderot autour des enjeux de l’enseignement des probabilités et de la statistique au lycée

Brigitte Sotura

1. Présentation du stage

1.1 Les besoins supposés de formation en statistique et probabilités

1.2 Les réponses apportées dans le stage IREM

1.3 Les choix faits pour le stage et son déroulement

2. Initier à la statistique inférentielle au lycée

2.1 Présentation de la première journée de stage

2.1.1 Objectifs de la première journée de stage

2.1.2 L’activité elle-même

2.1.3 Une même problématique de la seconde à la terminale, des réponses différentes

2.2   En classe de seconde 

2.2.1: Une approche qualitative et expérimentale

2.2.2 L’activité avec des élèves de seconde

2.2.3 Simuler : une occasion de traiter des séries de grandes tailles

2.3   En classe de première 

2.3.1 Une approche quantitative

2.3.2 Détermination algorithmique de l’intervalle de fluctuation en classe de première

2.3.3 La « fausse symétrie » du critère de décision

2.3.4  Intervalle de fluctuation unilatéral ou bilatéral ?

2.4 En classe de terminale : une détermination fonctionnelle de l’intervalle de fluctuation

3. Étude d’activités de manuels relatives aux lois à densité

3.1 D’un ensemble fini d’issues à un ensemble non dénombrable

3.2 Introduire la notion de densité en terminale

3.3 Accompagner les élèves dans le passage du discret fini au continu

3.4  Pourquoi centrer et réduire ?

3.5 Montrer la convergence de la loi binomiale vers la loi normale

3.5.1 Problèmes posés par la représentation conjointe d’une loi discrète et d’une loi continue

3.5.2 Des erreurs dans les manuels

4. Intervalle de fluctuation et de confiance avec des abaques

4.1 À partir de la bouteille de Brousseau, les deux problématiques

4.2 Utilisations des abaques

4.2.1 Le cas fini

4.2.2 Le cas continu

4.2.3 Faire varier les paramètres

4.2.4 Les différents intervalles de fluctuation et l’intervalle de confiance au programme   

5. Modéliser et développer la prise d’initiative

5.1 Hypothèses de formation

5.2 Recherche de seuils

5.2.1 Au baccalauréat

5.2.2 Fixer la barre à l’examen

5.2.3 Surréservation

5.2.4 Fiabilité d’un sondage

5.3 Recherche de paramètre d’une loi normale

5.4 Prise de décision à partir d’une fréquence observée

5.4.1 Tricheur ?

5.4.2 Composition d’un jury au Texas

5.4.3 Cas de Leucémieà Woburn

5.4.4 La parité dans une assemblée

 6. Conclusion

Chapitre V. Un épisode d'une formation continue : intérêt d'expérimenter et de simuler au collège

Marie-Hélène Le Yaouanq et Florian Paulou

1. Un stage sur l’intégration des TICE

2. Probabilités en classe de troisième

3. Représentations des élèves

3.1 Première partie : le vocabulaire

3.2 Deuxième partie : des situations classiques

4. L’expérimentation et la simulation

5. Conclusion

Bibliographie