Le calcul mental, entre sens et technique

Cet ouvrage présente une synthèse de recherches sur l'enseignement du calcul mental, la résolution de problèmes et l'apprentissage de techniques opératoires.

Le premier chapitre étudie l'évolution des programmes d'enseignement du calcul mental depuis la création de l'école publique jusqu'à nos jours. Les quatre chapitres suivants étudient les liens existant entre sens et technique. Deux chapitres sont consacrés à l'étude des relations entre connaissances numériques et procédures mobilisées par les élèves lors d'activités de calcul mental ou dans le cadre d'un environnement informatique. Deux chapitres étudient l'influence d'une pratique régulière de calcul mental sur la résolution de problèmes numériques. Les trois derniers chapitres sont consacrés à l'étude de difficultés rencontrées par les élèves, notamment par ceux scolarisés en ZEP (zones d'éducation prioritaires).

Des cheminements cognitifs susceptibles de favoriser leurs apprentissages sont mis en évidence.

Préface

Sommaire

Chapitre I : Évolution des programmes d’enseignement du calcul mental à l’école élémentaire

1. 1883-1970 : mémorisation et automaticité
2. 1970-1980 : les “mathématiques modernes”
3. 1980-2004 : mémorisation et élaboration de procédures adaptées
4. Conclusion

Chapitre II : Procédures disponibles lors de calculs de sommes, différences et produits

1. Calcul mental, représentation des nombres en mémoire et automaticité
2. Procédures de calcul mental et disponibilité des décompositions d’entiers
3. Procédures et performances observées lors des activités multiplicatives
4. Conclusion

Chapitre III : Des écritures multiplicatives à la multiplication en environnement informatique

1. La multiplication comme mesure-produit
2. De l’écriture multiplicative à l’algorithme
3. La notion de produit chez les élèves en difficulté 
4. La construction de la notion de produit, un processus qui prend du temps
5. Conceptualisation et technique, un premier exemple d’activité 
6. Conclusion 

Chapitre IV : Résolution mentale de problèmes additifs : le problème de l’autobus

1. Analyse a priori de la situation
2. Analyse des procédures observées
3. Conclusion 

Chapitre V : Effet d’une pratique régulière du calcul mental sur le sens et la technique

1. Le cadre de la recherche 
2. Méthodologie de recueil et d’analyse des données
3. Interprétation des résultats
4. De nouvelles perspectives 

Chapitre VI : Calcul mental et élèves en difficulté 

1. Origine des différences constatées
2. Portée et limite du calcul mental

Chapitre VII : Du calcul mental à la résolution de problèmes numériques 

I. Un jeu original entre simple et complexe 

1. Un premier exemple : la résolution d’un problème de combinatoire
2. Les résultats
3. Conclusion 

II. Créer et développer une mémoire collective de la classe 

1. Le cadre de la recherche 
2. Construction d’une mémoire collective de classe 

Chapitre VIII : Processus de conceptualisation chez les élèves en difficulté

I. Un premier exemple : l’émergence d’une certaine généricité

1. Des degrés différents de conceptualisation et décontextualisation
2. Problématique et ingénierie
3. Éléments de méthodologie 
4. Les principaux résultats de la recherche
5. Des étapes intermédiaires qui profitent à des élèves en difficulté moyenne 
6. Conclusion

II. Un second exemple : l’émergence d’outils heuristiques

1. Peu de références au calcul mental dans les bilans individuels des élèves des classes témoins
2. L’émergence d’outils heuristiques dans les classes entraînées
3. Un chemin original pour certains élèves en difficulté
4. Conclusion

Chapitre IX : Conclusion

1. Résultats sur les techniques opératoires et la conceptualisation
2. Résultats concernant les élèves en difficulté
3. Diversifier les types d’intervention
4. Des connaissances indispensables qui ne sont pas toujours enseignées
5. Adapter les situations au public de ZEP

Bibliographie

Annexe I : Grilles incomplètes proposées aux élèves

Annexe II : Déroulement des activités sur le problème de l’autobus 

Les différents énoncés
Présentation de la suite des activités dans les différentes classes 

Annexe III : Exemples d’activités de calcul mental 

III.1. Exemples d’activités de calcul mental, niveau CM2 

1. Jeux de mémoire visuelle ou auditive
2. Jeu du furet
3. Jeux de portrait
4. Jeu du nombre caché
5. Jeu de la chaîne 
6. Le nombre pensé
7. Le compte est bon. Cas particulier : objectif zéro 
8. La conjecture de Syracuse 
9. Vrai ou faux ?
10. Activités en liaison avec la numération
11. Multiplication par une puissance de 100
12. Additions et soustractions mentales. 
13. Multiplications et divisions mentales 
14. Produits égaux 
14. Problèmes à résoudre mentalement. 

III.2. Exemples d’activités de calcul mental, niveau sixième

1. Compter, décompter 
2. Ordre de grandeur 
3. Opérations mentales 
4. Calcul rapide sur les fractions
5. Problèmes à résoudre mentalement 

III.3. Exemples d’activités de calcul mental, niveau cinquième 

1. Ordre de grandeur d’un résultat
2. Priorité des opérations, énoncé de problème 
3. Travail sur les fractions
4. Problèmes à résoudre mentalement 

Annexe IV : Écrire et nommer les nombres

1. Construire un dictionnaire de nombres 
2. Test de fin de CP ou de CE1
3. Simuler un “compteur manuel” permettant d’écrire les nombres avec des mots
4. Combien de chiffres ? Combien de mots ?
5. Écrire avec des chiffres ce que l’on entend 

Glossaire

Postface