Le mémoire de Gauss sur les surfaces courbes et la naissance de la géométrie différentielle intrinsèque

Il s'agit d'expliquer le theorema egregium, contenu dans le mémoire de Gauss de 1828, au regard de la naissance de la géométrie différentielle intrinsèque. En effet à travers l'étude ciblée de ce theorema egregium, on illustre comment ce mémoire, qui inaugure une conception nouvelle de la géométrie et de la notion de l'espace, prépare la conception riemannienne d'un espace généralisé intrinsèque indépendamment d'un plongement dans un espace numérique. Cette brochure s'adresse à un public motivé par l'histoire des mathématiques, notamment aux enseignants et aux étudiants de cette discipline.

Introduction

1 - Autour de Gauss

Éléments historiques situant le mémoire de Gauss

2 - Le contenu du mémoire

3 - Image sphérique et définition géométrique de la courbure d’une surface. 

Exemples de courbures de surfaces obtenues sans calcul, «purement géométriquement»

Image sphérique et définition de Gauss de la courbure d’une surface

Quelques images sphériques obtenues par la seule géométrie  

Le plan

Le cylindre

La sphère

Le tore

Le signe de la courbure. L’orientation de l’image sphérique

Le tore, suite

4 - L’élément de longueur ds2

Distance sur la surface, Pythagore infinitésimal

Les trois représentations analytiques

Les coefficients E, F, G en coordonnées curvilignes

Signification géométrique de E, F, G

 Quelques calculs de ds2

1. Le plan

2. La sphère

3. La pseudo-sphère

4. Un cône

5. Une surface avec F non nul

Les préoccupations à l’époque de Gauss

5 - Isométries locales

Définition donnée à partir du cas du cylindre

Transformation de S dans S’ , repérées en coordonnées locales

Définition d’une isométrie locale

Gauss s’intéresse aux propriétés conservées par les isométries

Cône et plan

Caténoïde et hélicoïde à pas carré

Recherche des équations paramétriques d’un ruban de Möbius fabriqué selon la recette traditionnelle

Pseudo-sphère sous la forme sensible que lui donne Beltrami, et sous la forme abstraite que lui donne Poincaré

Question qu’il est légitime de se poser

6- Le theorema egregium

Résumé très anachronique de ces quatre paragraphes-clé du mémoire de Gauss

7 - Calcul intrinsèque des courbures (i.e. sans sortir de la surface)

1. Leplan

2. Le cône

3. Le cylindre

4. La sphère

5. La bande de Möbius donnée par ses équations classiques

6. L’hélicoïde à pas carré, et la caténoïde

7. Le tore sensible

8. Le tore plat

9. La pseudo-sphère de Beltrami, et le demi-plan de Poincaré

Conclusion par quels cheminements la constante de la géométrie non euclidienne s’est finalement avérée être la courbure gaussienne d’une surface

Les visages de la constante

Ce que Beltrami a apporté en 1868

Pourquoi on n’a pas trouvé avant

Les apports de Beltraini, l’originalité de ses idées

Bibliographie