Du trinôme du second degré à la théorie de Galois

Galois, dans sa vie très courte, a ouvert les portes de l'algèbre moderne. En continuateur des travaux de Vandermonde, de Cauchy, de Lagrange et de Gauss, il a pu régler la question de la résolution par radicaux des équations algébriques, problème qui a été central en algèbre pendant quelques siècles. Abel avait démontré avant lui l'impossibilité de la résolution par radicaux de l'équation générale de degré 5.

Ce livre se propose de dégager ce qu'il y a de moderne dans l'oeuvre de Galois. Le concept central sous-jacent à sa théorie est celui d'« indiscernabilité relative des racines, qui est lié à celui de groupe connu sous le nom de groupe de Galois d'une équation.

Le livre reprend l'algèbre à la base, en se mettant volontairement en marge de la théorie des ensembles. Le texte reconstruit les concepts algébriques en supposant un prérequis réduit à peu de choses. Le but est de rebâtir la théorie de Galois en partant d'une page blanche.

L'ouvrage s'adresse ainsi à toute personne aimant l'abstraction et le raisonnement mathématique. Il est particulièrement adapté aux étudiants et aux enseignants ayant déjà été en contact avec cette théorie réputée difficile. En jouant le jeu de faire table rase de leurs acquis, ils pourront reconstruire l'édifice au fil de la lecture.

Présentation

Mode d’emploi

Chapitre I : Le trinôme du second degré

1. Les quatre opérations
2. Le trinôme du second degré
3. L’idée de l’équation générale

Chapitre II : Le calcul avec une indéterminée

1. L’addition et la multiplication des formes
2. L’algorithme de la division euclidienne
3. Propriétés arithmétiques des entiers ou des formes

Chapitre III : De l’égalité et de l’indiscernabilité

1. Théorie des ensembles ou langage des ensembles ?
2. Rapport fondamental entre les concepts d’égalité, de groupe, d’indiscernabilité
3. Groupe de Galois (absolu) d’un ensemble structuré

Chapitre IV : De nouveaux nombres

1. Les nombres entiers circulaires
2. Les polynômes circulaires
3. D’autres nombres “complexes”
4. Cas général : l’équation irréductible de degré n

Chapitre V : Le concept de dimension

1. Un concept simple de dimension
2. L’espace des n-uplets. Les espaces linéaires
3. Dimension d’un espace linéaire

Chapitre VI : On fait le point

1. Retour sur le corps des fractions rationnelles et le corps de rupture K(α) d'un polynôme P
2. Combien de racines de P sont dans un corps de rupture ? Définition du groupe de Galois relatif

Chapitre VII : Cap sur l’équation générale de degré n

1. Groupe de Galois de l’équation xn – 1 = 0 sur ℚ avec ,n premier. Corps fixe
2. L’équation radicale x•p – a = 0 avec p premier
3. Extensions successives. Adjonctions multiples
4. Groupe de Galois de l’équation générale de degré n

Chapitre VIII : Un voyage imaginaire intergalactique

1. Questions d’objectivité et d’invariance
2. Embryon de la « correspondance de Galois »

Chapitre IX : La non-résolubilité

1 Structure du groupe symétrique S_n
2. La démonstration proprement dite

Chapitre X : Fête d’adieu

Introduction
1. Le cas d’une équation quelconque
2. Résolution par une tour intérieure
3. Cas d’une tour extérieure : cas général
4. Le mot de la fin ou d’un nouveau départ

Chapitre XI : Le tout début de la théorie des groupes finis et des corps finis

I. Égalités relatives dans un groupe
II. Premières propriétés et exemples de groupes cycliques
III. Exemples de groupes résolubles
IV. Remarque finale sur les quotients

Notes

Annexes

Conclusion

Bibliographie