Arithmétique en terminal S.

Cette brochure, écrite à l'intention des professeurs de lycée, est le prolongement d'un stage de formation continue intitulé "Arithmétique en vue de l'enseignement de spécialité en Terminale S".

Le but de ce travail n'est pas de proposer des cours-types mais de rappeler les notions fondamentales d'arithmétique dans Z tout en les rattachant aux notions sous-jacentes d'arithmétique dans un anneau euclidien, principal ou factoriel. Sont donnés en annexe quelques algorithmes permettant de programmer sur calculatrice ainsi que des énoncés de travaux pratiques servant à développer certains résultats.

Table des matières

1. Divisibilité dans N et Z

1- Quelques propriétés utiles de N et Z
2- Définitions
3- Propriétés de la divisibilité dans N et Z
4- Propriétés élémentaires des nombres premiers ou composés

2. Division euclidienne dans N et Z et applications

1- Division euclidienne dans N

1.1.Existence de la division euclidienne dans N
1.2.Un critère de primalité
1.3.Systèmes de numération dans N

2- Division euclidienne dans z

3- Algorithme d'Euclide

4- Congruences dans Z

4.1.Définition
4.2.Propriétés
4.3.Critères de divisibilité

 3. Pgcd — Nombres étrangers — Ppcm

1- Pgcd (a, b)

1.1.Existence et définitions
1.2.Propriétés des pgcd
1.3.Théorème de Bézout
1.4.Une caractérisation des pgcd

 2- Nombres étrangers

2.1.Une autre caractérisation des pgcd
2.2.Nombres étrangers et nombres premiers
2.3.Propriétés des nombres étrangers
2.4.Théorème de Gauss

3- Applications aux congruences

3.1.Résolution de ax b (mod n)
3.2.Simplification de ax ay (mod n)

4- Généralisation : pgcd de n nombres (n≥ 2)

5- Ppcm (a, b)

5.1.Existence et définition
5.2.Propriétés du ppcm
5.3.Généralisation : ppcm de n nombres (n≥2)

4. Factorialité de Z

1- Existence et unicité d'une décomposition d'un entier.

2- Applications

2.1.Divisibilité
2.2.Nombres étrangers
2.3.Pgcd et ppcm de deux nombres

A. Solutions des exercices

1- Solutions des exercices de la leçon 1

2- Solutions des exercices de la leçon 2

3- Solutions des exercices de la leçon 3

4- Solutions des exercices de la leçon 4

B. Quelques algorithmes

1- Crible d'Eratosthène

2- Savoir si un nombre est premier ou non

3- Algorithme d'Euclide d'obtention du pgcd de deux nombres

4- Coefficients de Bézout

5- Décomposition d'un nombre en facteurs premiers

C. Travaux pratiques

TP 1. Equations diophantiennes

TP 2. Théorème des restes chinois

TP 3. Période du développement décimal illimité d'un rationnel

TP 4. Tests de primalité : Fermat et Wilson

TP 5. Messages secrets

D. Une autre présentation du crible d'Ératosthène

E. Table des nombres premiers inférieurs à 2000

F. Bibliographie