- Résumé
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Il s'agit d'expliquer le theorema egregium, contenu dans le mémoire de Gauss de 1828, au regard de la naissance de la géométrie différentielle intrinsèque. En effet à travers l'étude ciblée de ce theorema egregium, on illustre comment ce mémoire, qui inaugure une conception nouvelle de la géométrie et de la notion de l'espace, prépare la conception riemannienne d'un espace généralisé intrinsèque indépendamment d'un plongement dans un espace numérique. Cette brochure s'adresse à un public motivé par l'histoire des mathématiques, notamment aux enseignants et aux étudiants de cette discipline.
- Sommaire
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Introduction
1 - Autour de Gauss
Éléments historiques situant le mémoire de Gauss
2 - Le contenu du mémoire
3 - Image sphérique et définition géométrique de la courbure d’une surface.
Exemples de courbures de surfaces obtenues sans calcul, «purement géométriquement»
Image sphérique et définition de Gauss de la courbure d’une surface
Quelques images sphériques obtenues par la seule géométrie
Le plan
Le cylindre
La sphère
Le tore
Le signe de la courbure. L’orientation de l’image sphérique
Le tore, suite
4 - L’élément de longueur ds2
Distance sur la surface, Pythagore infinitésimal
Les trois représentations analytiques
Les coefficients E, F, G en coordonnées curvilignes
Signification géométrique de E, F, G
Quelques calculs de ds2
1. Le plan
2. La sphère
3. La pseudo-sphère
4. Un cône
5. Une surface avec F non nul
Les préoccupations à l’époque de Gauss
5 - Isométries locales
Définition donnée à partir du cas du cylindre
Transformation de S dans S’ , repérées en coordonnées locales
Définition d’une isométrie locale
Gauss s’intéresse aux propriétés conservées par les isométries
Cône et plan
Caténoïde et hélicoïde à pas carré
Recherche des équations paramétriques d’un ruban de Möbius fabriqué selon la recette traditionnelle
Pseudo-sphère sous la forme sensible que lui donne Beltrami, et sous la forme abstraite que lui donne Poincaré
Question qu’il est légitime de se poser
6- Le theorema egregium
Résumé très anachronique de ces quatre paragraphes-clé du mémoire de Gauss
7 - Calcul intrinsèque des courbures (i.e. sans sortir de la surface)
1. Leplan
2. Le cône
3. Le cylindre
4. La sphère
5. La bande de Möbius donnée par ses équations classiques
6. L’hélicoïde à pas carré, et la caténoïde
7. Le tore sensible
8. Le tore plat
9. La pseudo-sphère de Beltrami, et le demi-plan de Poincaré
Conclusion par quels cheminements la constante de la géométrie non euclidienne s’est finalement avérée être la courbure gaussienne d’une surface
Les visages de la constante
Ce que Beltrami a apporté en 1868
Pourquoi on n’a pas trouvé avant
Les apports de Beltraini, l’originalité de ses idées
Bibliographie
- Auteur(s)
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Claude MERKERHombeline LANGUEREAUGroupe histoire des mathématiques
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